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Mathematik › Skripte

Nachdem ich nun recht viel Zeit darin investiert habe, das Mathewissen systematisch aufzuschreiben, gibt es hier nun die angekündigten ausführlichen Skripte. Bermeken Sie, dass an einigen, vor allem anderen fortgeschrittenen, ständig weitergeschrieben wird. Für eine Übersicht, wie die Skripte aufeinander Bezug nehmen, empfehle ich meinen Mindpalace.

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  • Grundlagen 1: Mengen und Kategorien

    Erstellt am 06. 10. 2017
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    Abbildungen; Relationen; Produkte; Summen; Natürliche Zahlen; Monoide und Gruppen; Kategorien; Besondere Morphismen; Funktoren; Äquivalenz; Kegel und Limites; Spezielle Limites: Produkte, Equaliser und Pullbacks; Limites und Funktoren; Grundbegriffe; Initiale Objekte in $(X\downarrow\mathcal{G})$; Freie Objekte; Limeserhalt; Punktierte Kategorien und Kerne; Additive und abelsche Kategorien; Exakte Sequenzen; Diagramm-Lemmata
  • Grundlagen 2: Algebraische Strukturen

    Erstellt am 06. 10. 2017
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    Wirkungen; Untergruppen und Quotienten; Universelle Konstruktionen in $\mathbf{Mon}$ und $\mathbf{Grp}$; Universelle abelsche Konstruktionen; Endliche Gruppen; Gruppenerweiterungen; Normalreihen und Auflösbarkeit; Ringe; Idealtheorie; Körper und Integritätsbereiche; Besondere kommutative Ringe; Teilbarkeitstheorie; Polynomring
  • Grundlagen 3: Lineare Algebra

    Erstellt am 06. 10. 2017
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    Grundbegriffe; Freie Moduln; Hom/Dual; Tensorprodukt; Projektivität, Flachheit, Torsion, Injektivität und Divisibilität; Multilinearität, Spur und Determinante; Struktur von Algebren; Freie Algebren und Liealgebren; Tensor-, symmetrische und äußere Algebren; Morphismenfamilien/abstrakte Matrizen; Zeilen- und Spaltenoperationen; Matrizenberechnungen; Vektorräume und Dimension; Affine/projektive Räume; lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen; Diagonalisierbarkeit; Torsion über Integritätsbereichen; Moduln über Hauptidealbereichen: Projektive und freie Moduln, Smith-Normalform, Struktur- und Elementarteilersatz; Cayley-Hamilton und Jordan-Normalform; Lineare Darstellungen; Charaktergruppen und Darstellungsringe; Komplexe Darstellungen und Orthogonalitätsrelationen
  • Grundlagen 4: Mengentheoretische Topologie

    Erstellt am 06. 10. 2017
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    Erzeugung und Morphismen; Initiale und finale Topologien; Abschluss, Inneres und Rand; Filter, Folgen und Abzählbarkeit; Konstruktion von $\R$; Metrische Räume; Uniformität und Vollständigkeit; Zusammenhang, Wege und Wegzusammenhang; Trennungsaxiome; Regularität/Normalität; Vererbung von Trennungseigenschaften; Kompaktheit, Subbasensatz und Tychonoff; Andere Kompaktheitsbegriffe; Lokalkompaktheit und Einpunktkompaktifizierung; Parakompaktheit.
  • Grundlagen 5: Reelle und komplexe Vektorräume

    Erstellt am 06. 10. 2017
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    Rechnen in $\R$ und $\C$; Normierte Räume; Operatoren; Banachalgebren; $\ell^\infty(X)$ und $\mathcal{C}(X)$; Stone–Čech-Kompaktifizierung; Stone–Weierstraß; Arzelà–Ascoli; Konvexe Mengen; Prähilberträume; Konvextität in Hilberträumen; Orthonormalsysteme und adjungierte Operatoren; Endlichdimensionale $\R$- und $\C$-Vektorräume; Abbildungen zwischen Hilberträumen; Orientierung und Definitheit; Topologie auf $\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V,W)$ und Matrixgruppen
  • Einführung in Geometrie und Topologie

    Erstellt am 06. 10. 2017
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    Topologische Gruppen; Mannigfaltigkeiten und klassische Räume; Klebekonstruktionen; Homotopie; Homotopielimites; Relative Homologie und punktierte Limites; Faserungen und Kofaserungen; Abstrakte Bündel; Faserbündel; Vektorbündel; Fundamentalgruppe und -gruppoid; Überlagerungen und Galoiskorrespondenz; CW-Komplexe und Graphen; Simplizialkomplexe; Approximationssätze; Seifert-van Kampen; Höhere Homotopiegruppen; Fasersequenz; Whitehead, Blakers-Massey und Freudenthal
  • (Co)homology of spaces

    Erstellt am 06. 10. 2017
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    CW complexes; the simplicial category; simplicial complexes; simplicial approximation; axiomatic homology; quotients; Mayer–Vietoris; suspension; reduced homology; singular homology is a homotopy theory; Betti numbers/Euler characteristics; topological genus; simplicial homology; cellular homology; Brouwer, Borsuk–Ulam and the retraction theorem; Lefschetz and Hopf; Cohomology theories; singular cohomology; (Co-)homology with universal coefficients; Local coefficients; Cross, Künneth, Alexander–Whitney and Eilenberg–Zilber; Cup and Cap; Orientation and the Poincaré Duality.